文系の競プロと統計

pythonメインの文系クソ大学生。備忘録のため読ませる気ゼロ。

2017統計学Ⅱ  NO.4 問1(ア) 解説

問題1 個人的な難易度★ 

50人の人に、あるゲームが好きかどうかを訪ねたところ、30人が好きだと答えた。この結果から、このゲームが好きな人の割合{(p)}の信頼係数95%の信頼区間を求めなさい。
ア)正規分布による近似から、二次方程式を解いて、区間を作る。


〜解き方手順〜


電卓ゲーです。覚えることも少ないし解くだけならカンタンです。ただし、電卓の打ち間違いにだけは注意しましょう。


1,{n}(標本の数)、{x}(このゲームが好きな人の比率)の値をチェック。
2,\begin{equation}
  (n + 限界値^2)p^2 - (2x + 限界値^2)p + x^2/n = 0
\end{equation}を解の公式を用いて解く。


限界値と上の二次方程式については区間推定:比率の記事で解説。
細かく知る必要なければ、


 ◎信頼係数90%のとき:\begin{equation}限界値 = 1.64\end{equation}
 ◎信頼係数95%のとき:\begin{equation}限界値 = 1.96\end{equation}
 ◎信頼係数99%のとき:\begin{equation}限界値 = 2.58\end{equation}

 ◎\begin{equation}
  (n + 限界値^2)p^2 - (2x + 限界値^2)p + x^2/n = 0
\end{equation}


を覚えておくこと以外に特にやることはなし。
導出過程は難しくないから覚えなくても全然OK。


〜解説〜

n = 50、x = 30 、限界値 = 1.96
\begin{equation}
  (n + 限界値^2)p^2 - (2x + 限界値^2)p + x^2/n = 0
\end{equation}に代入すると
\begin{equation}
  (50 + 1.96^2)p^2 - (60 + 1.96^2)p + 30^2/50 = 0
\end{equation}

\begin{equation}
  ap^2 - bp + c = 0
\end{equation}のかたちになっているのでここから解の公式


解の公式を使うため、a,b,cをあらかじめ求めておく。

a = 50 + 1.96^2
    = 50 + 3.8416
    = 53.8416

b = 60 + 1.96^2
    = 50 + 3.8416
    = 53.8416

c = 30^2/50
   = 900/50
   = 18

ここから解の公式を解いていく。



 \begin{eqnarray} p &=& \frac{b \pm \sqrt{ b^2-4ac }}{2a} \\
p &=& \frac{63.8416 \pm \sqrt{ 63.8416^2-4×53.8416×18 }}{2×53.8416}\\\\
p &=& \frac{63.8416 \pm \sqrt{ 4075.74989-3876.5952 }}{107.6832} \\\\
p &=& \frac{63.8416 \pm \sqrt{ 199.15469}}{107.6832} \\\\
p &=& \frac{63.8416 \pm {14.1122177562565}}{107.6832}\\\\

p_1について\\

p_1 &=& \frac{63.8416 + 14.1122177562565}{107.6832}\\\\
p_1 &=& \frac{77.9538177562565}{107.6832}\\\\
p_1 &=& 0.72391810195329\\\\

p_2について\\
p_2 &=& \frac{63.8416 - 14.1122177562565}{107.6832}\\\\
p_2 &=& \frac{49.7293822437435}{107.6832}\\\\
p_2 &=& 0.46181189121185\\\\

\therefore 0.46 \leqq p \leqq 0.72
\end{eqnarray}


類似問題:
基本統計学 有斐閣 P219【例8.1】